CONTENIDO PARA POSTULANTES-100%PRE IMPRIMIBLE

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Resolución del Ejercicio 6c

Tenemos la función:

g(x) = √(16 - x²)    si    |x - 2| ≤ 2

1. Determinación del Dominio de la función g

El dominio está restringido por la condición dada por el valor absoluto:

|x - 2| ≤ 2

Por propiedad de las desigualdades con valor absoluto:

-2 ≤ x - 2 ≤ 2

Sumamos 2 a todos los miembros de la desigualdad:

0 ≤ x ≤ 4

Por lo tanto, el dominio de g es:

Dom(g) = [0, 4]

Nota de consistencia: Para que la raíz cuadrada esté bien definida en los reales, se debe cumplir que 16 - x² ≥ 0, lo cual equivale a x ∈ [-4, 4]. Como nuestro intervalo [0, 4] está contenido en [-4, 4], la función está perfectamente definida en todo su dominio.

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2. Análisis de Inyectividad (Existencia de Inversa)

Para que una función posea inversa en su dominio, debe ser inyectiva (uno a uno). Vamos a verificarlo analíticamente o mediante un contraejemplo rápido dentro del dominio [0, 4]:

Tomemos dos valores distintos en el dominio:

• Para x₁ = 0: g(0) = √(16 - 0²) = √16 = 4
• Para x₂ = 4: g(4) = √(16 - 4²) = √0 = 0

Hasta aquí todo bien. Pero evaluemos un punto intermedio, por ejemplo, valores simétricos respecto al origen si fuera posible, o simplemente busquemos si existen dos valores distintos con la misma imagen.

La ecuación de la función es la mitad superior de una circunferencia de radio 4 centrada en el origen: y² + x² = 16 con y ≥ 0.

Dado que el dominio es [0, 4] (solo el primer cuadrante):

• La función es estrictamente decreciente en el intervalo [0, 4].
• Demostración analítica: Si 0 ≤ x₁ < x₂ ≤ 4, entonces:
  x₁² < x₂²   ⇒   -x₁² > -x₂²   ⇒   16 - x₁² > 16 - x₂²   ⇒   √(16 - x₁²) > √(16 - x₂²)
  Por lo tanto, g(x₁) > g(x₂).

Como es estrictamente decreciente en todo su dominio, g es inyectiva y, por lo tanto, SÍ tiene función inversa.

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3. Hallar el Rango de g (Dominio de la Inversa)

Como g(x) es decreciente en [0, 4]:

• El valor máximo ocurre en el extremo izquierdo: g(0) = 4
• El valor mínimo ocurre en el extremo derecho: g(4) = 0

Por lo tanto, el rango de la función es:

Ran(g) = [0, 4]

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4. Regla de Correspondencia de la Inversa (g⁻¹)

Partimos de la ecuación original para despejar x en términos de y (donde y ∈ [0, 4]):

y = √(16 - x²)

Elevamos al cuadrado ambos miembros (sabiendo que y ≥ 0):

y² = 16 - x²

Despejamos x²:

x² = 16 - y²

Aplicamos raíz cuadrada. Como el dominio original nos exige que x ≥ 0, tomamos la raíz positiva:

x = √(16 - y²)

Intercambiando las variables, la regla de correspondencia de la inversa es:

g⁻¹(x) = √(16 - x²)   con dominio   Dom(g⁻¹) = [0, 4]

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¿Qué pasa si en lugar de raíz cuadrada es raíz cúbica?

Si la función fuera:

h(x) = ∛(16 - x²)    si    |x - 2| ≤ 2

¿Sale lo mismo? No exactamente igual, pero el comportamiento y el proceso son muy similares:

• El Dominio sigue siendo exactamente el mismo: [0, 4] (pues la restricción proviene del valor absoluto |x - 2| ≤ 2).
• Inyectividad: Sigue siendo estrictamente decreciente e inyectiva en [0, 4], por lo que sí tiene inversa.
• Rango:
  • h(0) = ∛16 = 2∛2   (aproximadamente 2.52)
  • h(4) = ∛0 = 0
  • Por lo tanto, el rango sería Ran(h) = [0, 2∛2], el cual difiere del rango original [0, 4].
• Regla de correspondencia de la inversa:
  y = ∛(16 - x²)   ⇒   y³ = 16 - x²   ⇒   x² = 16 - y³   ⇒   h⁻¹(x) = √(16 - x³)
  Su dominio sería el rango de la función original: Dom(h⁻¹) = [0, 2∛2].