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Resolución Completa: Función $H(x)$

Analizaremos la función definida por tramos o partes:

H(x) =
  • Tramo 1: |x + 6| / (|x + 3| - 3)    si    -4 < x ≤ -1
  • Tramo 2: √(5 - x) - 2             si    -1 < x < 5

1. Análisis del Tramo 1: $H_1(x)$ en $(-4, -1]$

Primero, simplificamos las barras de valor absoluto según el intervalo correspondiente $-4 < x ≤ -1$:

• Para |x + 6|: Como $x > -4$, sumando 6 tenemos $x + 6 > 2$. Al ser una cantidad estrictamente positiva, el valor absoluto no altera el signo:
  |x + 6| = x + 6
• Para |x + 3|: Evaluamos los límites del intervalo:
  • Si $x \in (-4, -3)$, entonces $x + 3 < 0 \Rightarrow |x + 3| = -(x + 3)$
  • Si $x \in [-3, -1]$, entonces $x + 3 \geq 0 \Rightarrow |x + 3| = x + 3$

Debido a este cambio de comportamiento en $x = -3$, subdividimos el Tramo 1 en dos sub-intervalos:

Sub-tramo 1A: $-4 < x < -3$

Aquí $|x + 3| = -(x + 3) = -x - 3$. Reemplazamos en la función:

H₁(x) = (x + 6) / [(-x - 3) - 3] = (x + 6) / (-x - 6) = (x + 6) / [-(x + 6)] = -1

Rango 1A: Al ser una función constante, el único valor es {-1}.

Sub-tramo 1B: $-3 ≤ x ≤ -1$

Aquí $|x + 3| = x + 3$. Reemplazamos en la función:

H₁(x) = (x + 6) / [(x + 3) - 3] = (x + 6) / x = 1 + (6 / x)

Rango 1B: Construimos el rango a partir de $-3 ≤ x ≤ -1$:

-1/3 ≥ 1/x ≥ -1   ⇒   -2 ≥ 6/x ≥ -6   ⇒   -1 ≥ 1 + (6/x) ≥ -5

Por lo tanto, el rango en esta sección es el intervalo cerrado [-5, -1].

Rango Total del Tramo 1: La unión de ambos resultados nos da Ran(H₁) = [-5, -1].

2. Análisis del Tramo 2: $H_2(x)$ en $(-1, 5)$

La función en esta región es: H₂(x) = √(5 - x) - 2

Rango 2: Construimos el rango partiendo de la restricción del dominio $-1 < x < 5$:

1 > -x > -5   ⇒   6 > 5 - x > 0   ⇒   √6 > √(5 - x) > 0

Restamos 2 en todos los lados de la desigualdad:

√6 - 2 > √(5 - x) - 2 > -2

Aproximando numéricamente ($\sqrt{6} \approx 2.45$), el rango de este tramo es (-2, \sqrt{6} - 2), es decir, aproximadamente (-2, 0.45).

3. Resultados Globales: Dominio y Rango

Parámetro	Cálculo / Unión	Resultado Final
Dominio Dom(H)	(-4, -1] ∪ (-1, 5)	(-4, 5)
Rango Ran(H)	[-5, -1] ∪ (-2, √6 - 2)	[-5, √6 - 2)

4. Intersecciones con los Ejes Coordenados

• Eje Y (Intersección con x = 0):
  Como $x = 0$ pertenece al segundo tramo $(-1, 5)$, evaluamos allí:
  $H(0) = \sqrt{5 - 0} - 2 = \sqrt{5} - 2 \approx 0.24$.
  Punto de corte: (0, √5 - 2).
• Eje X (Raíces donde H(x) = 0):
  • En el Tramo 1, el rango va de $[-5, -1]$, nunca llega a valer 0.
  • En el Tramo 2, hacemos $\sqrt{5 - x} - 2 = 0 \Rightarrow \sqrt{5 - x} = 2 \Rightarrow 5 - x = 4 \Rightarrow x = 1$.
  Dado que $x = 1$ está dentro del intervalo $(-1, 5)$, es una raíz válida.
  Punto de corte: (1, 0).

5. Modelo del Comportamiento Gráfico

Para visualizar la gráfica mentalmente o describirla sin trazarla con precisión milimétrica, sigue este recorrido de izquierda a derecha:

1. Desde x = -4 hasta x = -3 (abierto en -4): Es una línea recta horizontal perfecta situada en la altura y = -1. Termina con un punto abierto justo antes de alcanzar la siguiente sección.
2. Desde x = -3 hasta x = -1: Comienza exactamente en el punto sólido (-3, -1) y se curva de forma creciente y suave hacia abajo, comportándose como una hipérbola racional truncada, alcanzando su punto más bajo en el extremo cerrado (-1, -5).
3. Desde x = -1 hasta x = 5: Pega un "salto" vertical (discontinuidad inevitable) hasta empezar de manera abierta cerca del punto (-1, 0.45). Desde ahí, decae suavemente hacia la derecha siguiendo la clásica curvatura de una raíz cuadrada invertida, cruzando el eje Y en $(0, 0.24)$, perforando el eje X en $(1, 0)$, y finalizando en un punto abierto en (5, -2).